Matematica : Geometria analitica del piano → Metodi di risoluzione dei problemi

Tangenti ad una circonferenza per un punto esterno

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza c di equazione x² + y² + ax + by + c e passanti per il punto P(x₀, y₀) esterno alla circonferenza.

1. Scriviamo l'equazione del fascio di rette con centro nel punto P:

2. Abbiamo 2 equazioni: l'equazione del fascio di rette r_{(x0, y0)} e della circonferenza c:

3. Mettiamo a sistema le equazioni r_{(x0, y0)} e c (che di seguito chiameremo equazione 1 ed equazione 2):

4. Cominciamo a risolvere il sistema con il metodo di sostituzione:

4.1 Isoliamo la y nella equazione 1 - lasciando al primo membro la y e portando al secondo membro tutto il resto:

4.2 Sostituiamo alla equazione 2 la y, con la y trovata nella equazione 1 (4.1)

e facciamo gli opportuni calcoli e riduzioni.

5. Ci ritroveremo con l'equazione 2



(opportunamente ridotta e ordinata ( che chiameremo equazione 2^* )) uguale ad una equazione di secondo grado parametrica in m (i coefficienti dei termini di primo e secondo grado e il termine noto dipendono dal parametro m):




Ricordando che il Δ (o discriminante) di una equazione di secondo grado e' uguale al secondo coefficiente b (o coefficiente del termine di primo grado) alla seconda meno 4 volte il primo coefficiente a (o coefficiente del termine di secondo grado) per il terzo c (o termine noto):

da cui, il Δ della nostra equazione ( equazione 2^* ):

7. Imponiamo la condizione di tangenza uguagliando a zero il Δ dell'equazione 2^*:

e risolviamo . . . . troviamo due valori m₁ ed m₂ che sostituiamo all'equazione 1:

le equazioni trovate sono le equazioni delle 2 rette del fascio tangenti alla circonferenza c e passanti per il punto P(x₀, y₀).