I frattali di Mandelbrot

Mandelbrot e i frattali

A Benoit Mandelbrot, matematico di origine polacca e francese di adozione, si deve il termine "frattale" dato ad una specie di oggetti geometrici accomunati da una caratteristica particolare: L' Autosomiglianza o Auto-similarita'. In un oggetto geometrico "frattale" , un motivo si ripete sempre uguale a stesso a scale diverse, questa caratteristica e' la Autosomiglianza.
In altre parole, zommando l'oggetto a diversi ingrandimenti, si riconosce sempre lo stesso motivo geometrico. Mandelbrot riprese gli studi (dei primi del 1900) di Gaston Julia. Nel 1975 conio' il termine "frattale" dal latino Fractus (spezzato, frazionario) derivato dal fatto che dal punto di vista matematico, gli oggetti frattali non hanno dimensione intera. Nel 1979, approfittando del suo impiego in un centro ricerca dell'IBM, sfrutto' le capacita' grafiche dei computer per "far vedere meglio la luce" alle sue creature. Naquero in quella occasione i "Frattali di Mandelbrot" e un sottoinsime di essi prese il nome di Insieme di Mandelbrot.
Esistono diversi insiemi di frattali, ognuno con le sue specificita'. Uno dei piu' noti, giustamente, e' l'insieme di Julia, tra l'altro, compreso nell'insieme di Mandelbrot.

I frattali e la natura

Negli anni ottanta, con il progredire della potenza di calcolo dei computer, ci fu un fiorire di studi sulla Geometria Frattale. Nel libro "The Fractal Geometry of Nature", Mandelbrot descrisse sistemi frattali che rendevano graficamente immagini simili a oggetti presenti in natura. Naquero i Frattali Biomorfi, di cui sono piene le gallerie di immagini frattali e che rappresentano in modo stupefacente paesaggi, fiocchi di neve, arborescenze, linee di costa ed altre creazioni della natura.

Finanza frattale

Uno dei campi in cui la geometria frattale ha trovato applicazioni significative e' nel settore dell'analisi dei flussi finanziari. Moltissimi studiosi applicano modelli "frattali" alle fluttuazioni delle variabili economiche. Anche qui l'invarianza di scala ha un peso notevole nella analisi. Mandelbrot stesso studio' l'argomento e pubblico' articoli sui comportamenti degli operatori finanziari, le oscillazioni dei prezzi di mercato, l'analisi finanziaria ed altri argomenti collegati.

Errori .. frattali

La geometria frattale e in particolare l'invarianza di scala in essa contenuta, e' servita per studiare anche fenomeni come gli errori rilevati in linee elettriche portanti di segnali digitali. In alcuni casi si e' trovato che la "forma di frequenza" degli errori, si ripeteva, in scala maggiore, raggruppando insiemi di errori, a loro volta questi insiemi di errori visti a ingrandimenti maggiori, presentavano "forme di frequenza" simili a quelle degli errori e... cosi' via.

Un esempio di algoritmo frattale

Sebbene la maggior parte delle equazioni usate nella geometria frattale coinvolgano il mondo dei numeri complessi, per farsi una idea della natura iterativa della generazione di un frattale, basta un semplice algoritmo come questo. Il famoso fiocco di neve.
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Si parte da un segmento, lo si divide in tre parti uguali, lo spazio del segmento di mezzo cosi' ottenuto, viene rimpiazzato da un triangolo equilatero senza base e lato lungo come gli altri due segmenti.

Il procedimento si ripete iterativamente su tutti i segmenti presenti nella figura generando ogni volta un nuovo insieme di segmenti da elaborare e una nuova figura. Cosi', da sinistra a destra e dall'alto verso il basso...

Si parte da qui	Si applica l'algoritmo e si ottiene...

Alcune immagini . . .

N.B. Le immagini sopra presentate sono state generate con appositi strumenti software e non appartengono necessariamente all'insieme di Mandelbrot