Matematica : Geometria analitica del piano → Metodi di risoluzione dei problemi

Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza

Equazioni della retta r e della circonferenza c:

1. Mettiamo a sistema le equazioni r e c (che di seguito chiameremo equazione 1 ed equazione 2):

2. Cominciamo a risolvere il sistema con il metodo di sostituzione:

2.1 Isoliamo la y nella equazione 1 - lasciando al primo membro la y e portando al secondo membro tutto il resto:

2.2 Sostituiamo alla equazione 2 la y, con la y trovata nella equazione 1 (2.1)

e facciamo gli opportuni calcoli e riduzioni.

Ci ritroveremo con l'equazione 2 uguale ad una equazione di secondo grado.

Ricordando che il Δ (o discriminante) di una equazione di secondo grado (equazione 2) e' uguale al secondo coefficiente b (o coefficiente del termine di primo grado) alla seconda meno 4 volte il primo coefficiente a (o coefficiente del termine di secondo grado) per il terzo c (o termine noto):

Risulta che:

La retta e' SECANTE alla circonferenza, se il Δ dell'equazione 2 e' MAGGIORE di 0 (le soluzioni dell'equazione di secondo grado e quindi del sistema sono reali e distinte (x₀, x₁ con x₀ ≠ x₁)).

La retta e' TANGENTE alla circonferenza, se il Δ dell'equazione 2 e' UGUALE a 0 (le soluzioni dell'equazione di secondo grado e quindi del sistema sono reali e coincidenti (x₀, x₁ con x₀ = x₁ oppure semplicemente detto x contato 2 volte)).

La retta e' ESTERNA alla circonferenza, se il Δ dell'equazione 2 e' MINORE di 0 (le soluzioni dell'equazione di secondo grado e quindi del sistema sono complesse e coniugate (o in quest'ambito si dice che NON AMMETTE SOLUZIONI REALI)).