Matematica : Geometria analitica del piano → Metodi di risoluzione dei problemi

Coordinate dei punti di intersezione di una retta ed una ellisse

Equazioni della retta r e della ellisse e:

1. Mettiamo a sistema le equazioni r ed e (che di seguito chiameremo equazione 1 ed equazione 2):

2. Cominciamo a risolvere il sistema con il metodo di sostituzione:

2.1 Isoliamo la y nella equazione 1 - lasciando al primo membro la y e portando al secondo membro tutto il resto:

2.2 Sostituiamo alla equazione 2 la y, con la y trovata nella equazione 1 (2.1)

e facciamo gli opportuni calcoli e riduzioni.

Ci ritroveremo con l'equazione 2 uguale ad una equazione di secondo grado.

Troviamo ora le soluzioni dell'equazione 2 con la formula generale risolutiva di una equazione di secondo grado:



Sostituiamo all'equazione 1 i valori trovati x₀ e x₁  ⁽¹⁾  e troviamo i rispettivi valori di y₀ e y₁.


Le coordinate cercate, dei punti di intersezione di una retta ed una ellisse sono:

  P₀(x₀, y₀);    P₁(x₁, y₁);

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⁽¹⁾   Ricorda che,    il Δ (o discriminante) di una equazione di secondo grado e' uguale al secondo coefficiente b (o coefficiente del termine di primo grado) alla seconda meno 4 volte il primo coefficiente a (o coefficiente del termine di secondo grado) per il terzo c (o termine noto))

    

Se il Δ e' > 0    i punti di intersezione saranno 2 (radici reali e distinte) x₀ e x₁ con x₀ ≠ x₁ (la retta e l'ellisse HANNO 2 punti in comune → La retta e' SECANTE);

Se il Δ e' = 0    i punti di intersezione saranno 2 (radici reali e cincidenti) x₀ e x₁ con x₀ = x₁
(la retta e l'ellisse HANNO 2 punti in comune COINCIDENTI (uguali) → La retta e' TANGENTE);

Se il Δ e' < 0    non ci saranno punti di intersezione (radici complesse e coniugate)
(la retta e l'ellisse NON HANNO punti in comune → La retta e' ESTERNA);

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