FISICA : Cinematica

IL piano inclinato, introduzione.

L' analisi del moto su un piano inclinato riveste particolare importanza per lo studio delle forze in gioco. In questo contesto le forze rivelano la loro natura vettoriale.
Per analizzare l'effetto delle forze applicate ad un corpo posto sul piano stesso, non si puo' prescindere dalla loro scomposizione vettoriale.
In figura un piano inclinato, un corpo di massa m e le forze che subisce.

Alfa e' l'angolo di inclinazione.
H l'altezza ed L la lunghezza del piano inclinato.
P il vettore Peso.
Px la componente del peso lungo il piano e Py la componente normale al piano.
Fn la forza di reazione vincolare del piano.

Come usuale, abbiamo adottato un sistema di riferimento che ha come asse X il piano, e come asse Y la perpendicolare ad x nel punto di contatto del corpo.

La forza peso P, diretta verso il basso verticalmente, si scompone in X e Y.
Px e' la componente lungo il piano, Py quella che grava nel punto di contatto tra il corpo e il piano nella direzione Y.

Spesso "scomposizione" e' un concetto non immediatamente percepito. Che vuol dire "scomporre" una forza ?
Proviamo a girarci intorno vedendola cosi':
Il peso totale P tenderebbe a portare il corpo verso il basso.
In direzione verticale trova l'opposizione del piano, quindi puo' solo 'spingerlo' contro il piano stesso nella direzione y, questa e' la componente Py.
Il peso pero' tende anche a 'trascinare' il corpo verso terra lungo il piano in direzione x, questa e' la componente Px.

Sia Px che Py sono inferiori a P. La intensita' di ogni componente e' graficamente indicata dalla sua lunghezza, il modo di calcolarne il valore e' geometricamente intuitivo e viene spiegato nel seguito.

Moto lungo un piano inclinato liscio, (in assenza di attrito)

Quale e' la risultante R delle forze in gioco ? Ricordando (anche se e' superfluo) :
a) Il Peso e' una Forza.
b) Dalla F=m*a, essendo a l'accelerazione di gravita', P=m*g.

La forza Py (che spinge il corpo contro la superficie del piano) e' controbilanciata (azione e reazione) dalla reazione vincolare del piano.
In effetti il corpo non sprofonda e neanche si alza nella direzione Y, quindi Fn (la forza di reazione vincolare) e' uguale e contraria a Py. Py ed Fn si annullano a vicenda.

L'unica forza rimasta e' Px, che trascina il corpo in basso lungo il piano inclinato.
  R = Px.

Per calcolare Px possiamo usare la trigonometria:
  Px = P * sen(alfa)  (Dalla prima figura: l'angolo Beta e' uguale ad Alfa)

e: (anche l'accelerazione e' un vettore):
  Px = m * ( g * sen(alfa)) - dove g*sen(alfa) e' la componente di g lungo x.

Oppure usando i criteri di similitudine fra triangoli.

Si vede chiaramente che P sta ad L come Px sta ad H.
Da cui:

  P : L = Px : H
quindi:

  Px = ( P * H ) / L .
+:
  P = ( Px * L ) / H .
+:
  L = ( P * H ) / Px .
+:
  H = ( Px * L ) / P .


Alcune formule che ne derivano:

  Velocita raggiunta dal corpo dopo un tempo di caduta t.
  Vt=Px*t:

  Velocita' del corpo fatto scivolare per tutta la lunghezza del piano.
  Siamo nel caso di un moto uniformemente accelerato.
  L'accelerazione e' Ax = g * sen(alfa).
  Lo spazio percorso e' L (la lunghezza del piano)
  Da s = 1/2 m*(a*t^2)
  ricaviamo il tempo di 'scivolata': t = Radice((2*s)/a)
   t = Radice((2*L)/Ax)
  Da cui infine t = Radice((2*L)/Ax)
  V=Px * Radice((2*L)/Ax)

Per tutte le altre formule usate Fisicalc.

Moto lungo un piano inclinato in presenza di attrito

La premessa del punto precedente riguardo Py ed Fn rimane valida.
Quello che cambia e' che la risultante non e' piu' solo Px.

La Fa in figura deriva dallo 'sfregamento' delle superfici del corpo e del piano a contatto (attrito).
L'attrito si oppone allo scorrimento del corpo sulla superficie.
L'attrito e' direttamente proporzionale alla 'pressione' del corpo sulla superficie.
La pressione del corpo e' in realta' Py (come spiegato sopra) e il fattore di proporzionalita' e' una costante K (detta coefficiente di attrito) propria del materiale a contatto.
La forza di attrito che ne deriva (sempre di verso opposto al moto !) e':
  Fa=k*Py.

Quale e' la risultante R delle forze in gioco ?
  Rd = Px - Fa ( in discesa )
  Rs = - Px - Fa ( in salita)

In altre parole:
Considerando il corpo spinto in salita:
  Rs = - Px - Fa (concordi, entrambe si oppongono alla salita)

Considerando il corpo in discesa:
  Rd = Px - Fa (discordi, l'attrito si oppone, il peso aiuta la discesa)

Per farlo salire, bisogna applicare una F1x (lungo il piano inclinato) >= Rs
Se F1x=Rs il corpo sale ( Rf=0 acc=0 ).
Se F1x>Rs il corpo sale accelerando.

Se Px=Fa ed F1x>0, (Rd ed Rs=0), si puo' far salire il corpo, ma appena si disapplica la forza (F1x=0), il corpo si ferma in equilibrio.

Anche in questo caso, per tutte le altre formule, dirette o inverse relative al piano inclinato: Fisicalc.