Matematica : Geometria del piano

Teorema dello gnomone

Teorema (Elementi di Euclide - Proposizione I,43):
In ogni parallelogrammo i complementi dei parallelogrammi (posti) intorno alla diagonale sono uguali fra loro.

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DIMOSTRAZIONE:

Sia
ABCD un parallelogramma
AC la diagonale
EH e GF i parallelogrammi posti intorno ad AC
BP e PD i complementi

allora
la diagonale AC divide il parallelogramma ABCD in due parti uguali ⁽¹⁾ → il triangolo ABC e' = al triangolo ACD

la diagonale AP divide il parallelogramma EH in due parti uguali ⁽¹⁾ → il triangolo AEP e' = al triangolo AHP.

la diagonale CP divide il parallelogramma GF in due parti uguali ⁽¹⁾ → il triangolo PFC e' = al triangolo PGC.

Dato che
il triangolo AEP e' = al triangolo AHP e il triangolo PFC = al triangolo PGC

allora anche
il (triangolo AEP + il triangolo PGC) e' = al (triangolo AHP + il triangolo PFC)

da cui   il rimanente complemento BP e' UGUALE al rimanente complemento PD


⁽¹⁾ Teorema (Elementi di Euclide - Proposizione I,34):   I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla diagonale in due parti uguali.

Legenda:
A, B, C, D = Parallelogramma, AC = Diagonale, P = Punto sulla diagonale, BP e PD = Parallelogrammi equivalenti, S_{( ? )} = Superficie dei parallelogrammi e dei triangoli

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