Matematica : Geometria del piano

Cerchio dei nove punti (o cerchio di Feuerbach o cerchio di Eulero)

In un triangolo ABC, per i 3 punti medi dei lati oppure per i 3 piedi delle altezze oppure per i 3 punti medi dei segmenti che congiungono l'ortocentro e i vertici del triangolo, passa una medesima circonferenza (o cerchio). Questo cerchio e' chiamato cerchio dei nove punti o cerchio di Feuerbach o cerchio di Eulero.

Legenda:
A, B, C = Vertici del triangolo, H_A, H_B, H_C = Piedi delle altezze del triangolo, O = Ortocentro del triangolo, Pm_(AB), Pm_(BC), Pm_(CA) = Punti medi dei lati del triangolo, Pm_(OA), Pm_(OB), Pm_(OC) = Punti medi dei segmenti che congiungono l'ortocentro O e i vertici del triangolo A, B, C.

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ALCUNE PROPRIETA'

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1. Il centro O e il raggio r_f del cerchio di Feuerbach:

   1.1.  Il centro O e' allineato con l'ORTOCENTO O_c (punto di incontro delle altezze del triangolo) e il CIRCONCENTRO C_c (centro della circonferenza circoscritta al triangolo ) del triangolo ABC;

   1.2.  Il centro O e' PUNTO MEDIO del segmento O_cC_c;

   1.3.  Il raggio r_f e' = 1/2 del raggio r_c della circonferenza circoscritta al triangolo ABC

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   1.4.  Il centro O e' allineato con l'ORTOCENTO O_c, il CIRCONCENTRO C_c e il BARICENTRO B_c (punto di intersezione delle mediane del triangolo) quindi anche il centro O del cerchio dei nove punti giace su una stessa retta, la retta di Eulero.

______ IL CENTRO DEL CERCHIO DEI NOVE PUNTI E LA RETTA DI EULERO

2. I punti F₁, F₂, F₃, F₄ e il triangolo F₁F₂F₃ di Feuerbach:

   2.1.  I punti di tangenza (F₁, F₂, F₃, F₄) delle circonferenze ex-inscritte e della circonferenza inscritta al triangolo ABC, con il cerchio di Feuerbach sono chiamati punti di Feuerbach;

   2.2.  I punti di tangenza (F₁, F₂, F₃) delle circonferenze ex-inscritte sono vertici del triangolo di Feuerbach;

______ I PUNTI E IL TRIANGOLO DI FEUERBACH

3. La circonferenza circoscritta al triangolo ABC e' il cerchio di Feuerbach del triangolo A₁B₁C₁:

   3.1.  La circonferenza circoscritta al triangolo ABC e' il cerchio di Feuerbach del triangolo che ha come vertici i centri (ex-centri) delle circonferenze ex-inscritte A₁, B₁, B₁ (Se le bisettrici di due angoli supplementari adiacenti sono perpendicolari allora i vertici del triangolo ABC sono anche i piedi delle altezze del triangolo A₁B₁C₁).

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4. Il cerchio di Feuerbach e il triangolo ortico H₁, H₂, H₃:

   4.1.  La circonferenza circoscritta al triangolo ortico H₁, H₂, H₃ coincide con il cerchio dei nove punti.

______ IL CERCHIO DI FEUERBACH E IL TRIANGOLO ORTICO